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2008年04月 アーカイブ

2008年04月22日

位相空間

いそうくうかん?

位相空間(いそうくうかん、topological space)とは、数学において、集合に要素どうしの近さや繋がり方に関する情報(位相、topology)を付け加えたものである。この情報は関数の連続性や点列の収束といった概念の源といえる。ある集合に位相を与えて位相空間とみなすことを、しばしば「位相を入れる」という。位相空間論は位相空間の諸性質を研究する数学の分野である。

位相空間を導入する意義
ユークリッド空間やその部分集合においては、点の間の距離をもちいて異なる点の間の近さを測ることができ、それに基づいた位相空間の構造が得られる。一般に、距離空間は最も想像しやすい種類の位相空間の例を与えているが、一方で距離空間の枠組みは柔軟性に欠ける面もある。幾何学においてはユークリッド空間(の開集合)と同相ないくつかの空間を基本的な部品とし、それらを張り合わせて得られるような空間が主な考察の対象となるが、この張り合わせはそれぞれの部品上に定まっている距離を保つとは限らない。

例えば,二次元の球面は二つの平面(二次元ユークリッド空間に同相な空間)を、それぞれから一点を取り除いて得られる領域を張り合わせることによって得られる。この張り合わせはそれぞれの平面を「ゆがめて」しまい、下の平面で考えていた距離は通常のやり方による球面の部品としての距離とは異なったものになる。
このような場合にも位相空間の商空間を考えることで、部品を張り合わせて作った空間上の位相を自然に定式化することが可能になる。

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この他にも、積極的に位相空間を考える理由は存在する。 無限次元ベクトル空間を扱う関数解析学の理論を見通しよく展開するにはベクトル空間に位相を入れて位相空間の一般論を用いることが必須であるし(位相ベクトル空間)、 代数幾何学で用いられるザリスキ位相は、通常、距離から定めることのできないような位相である。現在では数学の各分野において位相空間が独特の方法で応用されているが、本項目では最も一般的な部分について述べる。
(以上、ウィキペディアより引用)

何がいそうなんだ!?

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